1. (2023九上·绍兴月考) 如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²-2x+c（c＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为E，若点B的坐标是（1，0），点D是该抛物线在第二象限图象上的一个动点．

1. （1） 求该抛物线的解析式和顶点E的坐标；
3. （2） 设点D的横坐标是a，问当a取何值时，四边形AOCD的面积最大；
5. （3） 如图2，若直线OD的解析式是y=-3x，点P和点Q分别在抛物线上和直线OD上，问：是否存在以点P，Q，O，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．