已知：如图，在中，，，垂足为，是外角的平分线，，垂足为，连接交于．

1. (2023九上·灵石月考) 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外角 $\text{[math]}$ 的平分线， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 为矩形．
3. （2）线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
5. （3）当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是一个正方形？简述你的理由．