如图，在矩形中，点E为边AD的中点，点F为边AB上的一个动点，连接FE并延长，交CD的延长线于点G，以FG为底边在FG下方作等腰，且．

1. (2023九上·珠海期中) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E为边AD的中点，点F为边AB上的一个动点，连接FE并延长，交CD的延长线于点G，以FG为底边在FG下方作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若点H恰好落在BC上，连接BE，EH．求证：
  ① $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，点H落在矩形 $\text{[math]}$ 内，连接CH，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点F在什么位置时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大，并求它的最大值．

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1. (2023九上·珠海期中) 如图，在矩形中，点E为边AD的中点，点F为边AB上的一个动点，连接FE并延长，交CD的延长线于点G，以FG为底边在FG下方作等腰 ， 且 ．