已知点F为抛物线E：的焦点，点，，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A ， B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C.

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1. (2023高二上·武汉月考) 已知点F为抛物线E： $\text{[math]}$ 的焦点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A ， B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C.
1. （1）求证：直线BC过定点；
3. （2）若直线BC所过定点为点Q ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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