如图1，在中，，，．以为边向的下方作等边，连接，求的长．

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1. (2023九上·高安月考) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边向 $\text{[math]}$ 的下方作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
1. （1）尝试探究如图2，小明将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转60°得到 $\text{[math]}$ ，然后证 $\text{[math]}$ 为等边三角形，进而求得 $\text{[math]}$ ▲ ；
3. （2）类比应用
  ①如图1，在 $\text{[math]}$ 中，其中 $\text{[math]}$ 是一个可以变化的角， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边向 $\text{[math]}$ 的下方作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长的最大值是 ▲ ；
  ②如图3，在 $\text{[math]}$ 中，其中 $\text{[math]}$ 是一个以变化的角， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边向 $\text{[math]}$ 的下方作等腰直角 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长的最大值及 $\text{[math]}$ 的长最大时 $\text{[math]}$ 的大小；
  ③拓展提升：如图4，点 $\text{[math]}$ 是等边三角形 $\text{[math]}$ 内部的一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ▲ ．

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