过点的直线交抛物线于点，，证明：以为直径的圆过原点；已知的顶点，的坐标分别为，，顶点在圆上运动，求的重心的轨迹方程并指出该轨迹是什么曲线

1. (2023高二上·酒泉期末)
1. （1）过点 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明：以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过原点 $\text{[math]}$ ；
3. （2）已知 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上运动，求 $\text{[math]}$ 的重心 $\text{[math]}$ 的轨迹方程并指出该轨迹是什么曲线.

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1. (2023高二上·酒泉期末)