如图①，等边中，，点在上，且，动点P从点A出发沿射线以速度运动，连接OP ，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为

1. (2023八上·衡阳月考) 如图①，等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发沿射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 速度运动，连接OP ，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$
1. （1）用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长．
3. （2）如图②，当点D落在 $\text{[math]}$ 边上时，求证： $\text{[math]}$ ．
5. （3）当 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 的一边时，直接写出t的值．
7. （4）作点D关于点O的对称点E ，当 $\text{[math]}$ 秒时，点E恰好落在射线AC上．