在平面直角坐标系中，动点在双曲线的一条渐近线上，已知的焦距为4，且为的一个焦点，当最小时，的面积为.

1. (2024高二上·南山期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线上，已知 $\text{[math]}$ 的焦距为4，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的一个焦点，当 $\text{[math]}$ 最小时， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点.当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 依次为直线 $\text{[math]}$ 的斜率，证明： $\text{[math]}$ 在定直线上.