离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．

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1. (2024·九省高考模拟) 离散对数在密码学中有重要的应用．设 $\text{[math]}$ 是素数，集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 除以 $\text{[math]}$ 的余数， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 除以 $\text{[math]}$ 的余数；设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两不同，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底 $\text{[math]}$ 的离散对数，记为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （2）对 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 除以 $\text{[math]}$ 的余数（当 $\text{[math]}$ 能被 $\text{[math]}$ 整除时， $\text{[math]}$ ）．证明： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ；
5. （3）已知 $\text{[math]}$ ．对 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．

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