1. (2024八上·德惠期末)  【教材呈现】：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB ， 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有： 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 已知：如图， ， 垂足为点C ， ， 点P是直线MN上的任意一点。 求证： ． 请写出完整的证明过程

1. （1） 请根据所给教材内容，结合图①，写出完整的证明过程．
3. （2） 【定理应用】：如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E ， 垂足分别为M ， N ， 已知的周长为30，则BC的长为．
5. （3） 如图③，在中， ， ， E、P分别是AB、AD上任意一点，若 ， 则的最小值是．