1. (2024高三上·嘉兴模拟) 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.

1. （1） 求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
3. （2） 记该同学第天选择米饭套餐的概率为 ，

   （i）证明：为等比数列；

   （ii）证明：当时，.