已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线．直线与曲线交于两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（）

1. (2024高二下·广元开学考) 已知点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的任意一点，点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . 曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$