1. (2024高三下·贵阳模拟) 英国数学家泰勒发现了如下公式：

其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设 ， 根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

1. （1） 证明：；
3. （2） 设 ， 证明：；
5. （3） 设 ， 若是的极小值点，求实数的取值范围.