如图所示，水平粗糙地面上有一个长为的轻杆，杆的一端与质量为的球相连，另一端连接铰链，杆可以在竖直平面内绕自由转动，重力加速度为。的右侧紧靠着一个正方体箱子，箱子质量为，边长为，箱子左面光滑。现有质量为的小尖状物块以竖直向

1. (2024高三下·湖南月考) 如图所示，水平粗糙地面上有一个长为 $\text{[math]}$ 的轻杆，杆的一端与质量为 $\text{[math]}$ 的球 $\text{[math]}$ 相连，另一端连接铰链 $\text{[math]}$ ，杆可以在竖直平面内绕 $\text{[math]}$ 自由转动，重力加速度为 $\text{[math]}$ 。 $\text{[math]}$ 的右侧紧靠着一个正方体箱子，箱子质量为 $\text{[math]}$ ，边长为 $\text{[math]}$ ，箱子左面光滑。现有质量为 $\text{[math]}$ 的小尖状物块以竖直向上 $\text{[math]}$ 的速度射入 $\text{[math]}$ 但未射出，随后 $\text{[math]}$ 与物体形成新的整体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 带动杆在竖直平面内转动，转过 $\text{[math]}$ 后，给 $\text{[math]}$ 施加一个水平向右的恒力 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 大小为 $\text{[math]}$ 。 $\text{[math]}$ 再转过 $\text{[math]}$ 后，箱子与 $\text{[math]}$ 分离。求：
1. （1）小尖状物体射入 $\text{[math]}$ 后的共同速度大小；
3. （2）箱子与地面之间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ；
5. （3）在箱子右边放置一个四分之一圆弧轨道，轨道半径为 $\text{[math]}$ ，轨道圆心处静止着质量为 $\text{[math]}$ 的球 $\text{[math]}$ ，箱子运动到 $\text{[math]}$ 处，与 $\text{[math]}$ 发生弹性碰撞，随后 $\text{[math]}$ 做平抛运动落入圆弧轨道上。要使 $\text{[math]}$ 落入圆弧轨道上的动能最小，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的水平距离 $\text{[math]}$ 为多少？

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