定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称点为中心点，点是点的 “界环绕点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心．

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1. (2024九上·衡东期末) 定义：平面直角坐标系中有点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为中心点，点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 的 “ $\text{[math]}$ 界环绕点”．例如：对于中心点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 的点，都是点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，中心点 $\text{[math]}$ 是正方形的中心．
1. （1）点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界环绕点”所组成的图形面积为；
3. （2）直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．
  ①在其图象上，点 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 界环绕点”组成的线段长为 $\text{[math]}$ ，求b的值；
  ②直线 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 图象的交点横坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
5. （3）关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），将它的图象 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得曲线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 上都存在 $\text{[math]}$ 的“1界环绕点”，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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湖南省衡阳市衡东县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题