已知函数.

1. (2024高三·天河模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 恰有一个零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；
3. （2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取 $\text{[math]}$ ，实施如下步骤：在点 $\text{[math]}$ 处作 $\text{[math]}$ 的切线，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ：在点 $\text{[math]}$ 处作 $\text{[math]}$ 的切线，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ；一直继续下去，可以得到一个数列 $\text{[math]}$ ，它的各项是 $\text{[math]}$ 不同精确度的零点近似值.
  （i）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式；
  （ii）证明：当 $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ .