已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.

1. (2024高三下·湖南模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ；数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
3. （2）对于给定的正整数 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间插入 $\text{[math]}$ 个数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列.
  （i）求 $\text{[math]}$ ；
  （ii）是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恰好是数列 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 中的项？若存在，求出所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.