湖南省九校联盟2023-2024学年高三下学期数学第二次联考...

更新时间：2024-05-29 浏览次数：21 类型：高考模拟

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. (2024高三下·湖南模拟) 对两个变量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 进行回归分析，得到一组样本数据 $\text{[math]}$ ，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（）

A . 平均数 B . 相关系数 $\text{[math]}$ C . 决定系数 $\text{[math]}$ D . 方差

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2. (2024高三下·湖南模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是等比数列， $\text{[math]}$ 是其前 $\text{[math]}$ 项和.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·湖南模拟) 关于复数 $\text{[math]}$ 与其共轭复数 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . 在复平面内，表示复数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的点关于虚轴对称 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 必为实数， $\text{[math]}$ 必为纯虚数 D . 若复数 $\text{[math]}$ 为实系数一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一根，则 $\text{[math]}$ 也必是该方程的根

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4. (2024高三下·湖南模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 和到直线 $\text{[math]}$ 的距离之比为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. (2024高一下·龙马潭期末) 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则此四面体的外接球表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三下·湖南模拟) 某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款 $\text{[math]}$ 元，按照复利计算10年后得到的本利和为 $\text{[math]}$ ，下列各数中与 $\text{[math]}$ 最接近的是（）

A . 1.31 B . 1.32 C . 1.33 D . 1.34

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7. (2024高三下·湖南模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若沿 $\text{[math]}$ 轴方向平移 $\text{[math]}$ 的图象，总能保证平移后的曲线与直线 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·湖南模拟) 过点 $\text{[math]}$ 的动直线与圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，在线段 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，已知线段 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. (2024高三下·湖南模拟) 下列函数的图象与直线 $\text{[math]}$ 相切的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高一下·上饶月考) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为直角三角形 C . 若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形， $\text{[math]}$ 的最小值为1 D . 若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·湖南模拟) 如图，点 $\text{[math]}$ 是棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 的表面上一个动点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为 $\text{[math]}$ B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ C . 当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 上运动，且溚足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 长度最大值为 $\text{[math]}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. (2024高三下·湖南模拟) 对于非空集合 $\text{[math]}$ ，定义函数 $\text{[math]}$ 已知集合 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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13. (2024高三下·湖南模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ ，椭圆的短轴长与长轴长之比大于 $\text{[math]}$ ，则双曲线离心率的取值范围为.

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14. 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 范围内极值点的个数为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. (2024高三下·湖南模拟) 如图所示，半圆柱的轴截面为平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆柱底面的直径， $\text{[math]}$ 为底面圆心， $\text{[math]}$ 为一条母线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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16. (2024高三下·湖南模拟) 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A ， B ， C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000
1. （1）求甲按“ $\text{[math]}$ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
2. （2）甲决定按“ $\text{[math]}$ ”或者“ $\text{[math]}$ ”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
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17. (2024高三下·湖南模拟) 已函数 $\text{[math]}$ ，其图象的对称中心为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）判断函数 $\text{[math]}$ 的零点个数.
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18. (2024高三下·湖南模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ；数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）对于给定的正整数 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间插入 $\text{[math]}$ 个数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列.
  （i）求 $\text{[math]}$ ；
  （ii）是否存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恰好是数列 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 中的项？若存在，求出所有满足条件的 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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19. (2024高三下·湖南模拟) 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 $\text{[math]}$ 表示过点 $\text{[math]}$ 的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
1. （1）若圆 $\text{[math]}$ 是直线族 $\text{[math]}$ 的包络曲线，求 $\text{[math]}$ 满足的关系式；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 不在线族： $\text{[math]}$ 的任意一条直线上，求 $\text{[math]}$ 的取值范和直线族 $\text{[math]}$ 的包络曲线 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的条件下，过曲线 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 两点作曲线 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ，其交点为 $\text{[math]}$ .已知点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 三点不共线，探究 $\text{[math]}$ 是否成立？请说明理由.
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