如图，在中，，以为直径的半圆交于点，过点作交于点，连结，．

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1. (2024·北部湾月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）填空：
  $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；
  $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大．

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