（15分）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线．

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1. (2023高三上·重庆一模) （15分）
在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，内切圆半径为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，记顶点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  (i) 设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，证明：存在唯一常数 $\text{[math]}$ ，使得当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
  (ii) 若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

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