一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖次，总得分为，每次中奖的概率为，且每

1. (2024高三下·江西模拟) 一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖 $\text{[math]}$ 次，总得分为 $\text{[math]}$ ，每次中奖的概率为 $\text{[math]}$ ，且每次摸奖相互独立．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的概率；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的概率分布列和数学期望；
5. （3）当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的数学期望与10的大小，并说明理由．

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