如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答：

1. (2024八下·莲湖月考) 如图所示，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P从点B出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；点Q从点C出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设运动时间为t秒 $\text{[math]}$ ，请回答：
1. （1）当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，求t的值；
3. （2）当t为何值时，点P在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上？
5. （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使 $\text{[math]}$ 为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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1. (2024八下·莲湖月考) 如图所示，在等边中， ， 点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为 ， 连接 ， ． 设运动时间为t秒 ， 请回答：