如图1，点为轴正半轴上一点，交轴于两点，交轴于两点，点为劣弧上一个动点，且．

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1. (2024·珠海模拟) 如图1， $\text{[math]}$ 点为 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 点为劣弧 $\text{[math]}$ 上一个动点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，连结 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为；
3. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点，求 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）如图3，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 点运动时（不与 $\text{[math]}$ 两点重合），求证： $\text{[math]}$ 为定值，并求出这个定值．

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