在平面直角坐标系中，、，四边形是正方形，点是轴正半轴上一动点，，交正方形外角平分线于点．

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1. (2024八下·新田月考) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴正半轴上一动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交正方形 $\text{[math]}$ 外角平分线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上运动，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上．若四边形 $\text{[math]}$ 为菱形，求直线 $\text{[math]}$ 的解析式．
5. （3）连 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上运动时，点 $\text{[math]}$ 随之而运动，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．

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湖南省永州市新田县2023-2024学年八年级下学期月考数学试题