已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.

1. (2024高三下·武汉模拟) 已知常数 $\text{[math]}$ ，在成功的概率为 $\text{[math]}$ 的伯努利试验中，记 $\text{[math]}$ 为首次成功时所需的试验次数， $\text{[math]}$ 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 $\text{[math]}$ 的概率分布为几何分布.
1. （1）对于正整数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ，并根据 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ ；
3. （2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 $\text{[math]}$ 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 $\text{[math]}$ ，现提供一种求 $\text{[math]}$ 的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是 $\text{[math]}$ ，即总的试验次数为 $\text{[math]}$ ；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为 $\text{[math]}$ .
  （i）求 $\text{[math]}$ ；
  （ii）记首次出现连续 $\text{[math]}$ 次成功时所需的试验次数的期望为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

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1. (2024高三下·武汉模拟) 已知常数 ， 在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布.