【提出问题】如图，等腰直角三角形中，，，点为上一点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，，探究，，之间的数量关系．【分析问题】小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”

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1. (2024八下·菏泽期中) 【提出问题】
如图 $\text{[math]}$ ，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
【分析问题】
小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，通过证明 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，最终探究出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
1. （1）根据小明的思路，补全 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ 的证明过程；
3. （2）直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系：；
5. （3）【拓展思考】如图 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

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山东省菏泽市鲁西新区2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷