在和中，，，点是延长线上一动点，点在线段上，连接与交于点．

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1. (2024八下·开州期中) 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一动点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
3. （2）如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
5. （3）如图 $\text{[math]}$ ，移动点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值．

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