如图，在等边中，，过点C作射线，点M ， N分别在边AB ， BC上，将沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点处，连接．

1. (2024·新乐模拟) 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点C作射线 $\text{[math]}$ ，点M ， N分别在边AB ， BC上，将 $\text{[math]}$ 沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 为定值；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；
5. （3）当点N与C重合时，求 $\text{[math]}$ 的度数；
7. （4）当 $\text{[math]}$ 最短时，请直接写出MN的长．

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1. (2024·新乐模拟) 如图，在等边中， ， 过点C作射线 ， 点M ， N分别在边AB ， BC上，将沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点处，连接 ．