已知函数对任意实数、都满足等式，当时，，且．

1. (2024高一下·湖南月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都满足等式 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的奇偶性；
3. （2）判断 $\text{[math]}$ 的单调性，求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值；
5. （3）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，对于任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 恒成立．若存在，求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．