已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．

1. (2024高二下·广州期中) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上．过 $\text{[math]}$ 的左焦点F作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的左支于A、B两点．
1. （1）求双曲线C的方程；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，试问：是否存在直线 $\text{[math]}$ ，使得点M在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆上?请说明理由．
5. （3）点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．