综合与实践：综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．【操作判断】操作一：如图1，正方形纸片，将沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，得到折痕，点的对应点为，连接；再将沿过点的直线折叠，使与重

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1. (2024八下·珠海期中) 综合与实践：
综合与实践课上，高老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一：如图1，正方形纸片 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在正方形 $\text{[math]}$ 的内部，得到折痕 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；再将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，将纸片展平，连接 $\text{[math]}$ ．根据以上操作，同学们很快发现 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线，且有以下结论：① $\text{[math]}$ ；②线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为： $\text{[math]}$ ．
【深入探究】
操作二：如图2，再将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在正方形 $\text{[math]}$ 的内部，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，将纸片展平，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．同学们在折纸的过程中发现，当点 $\text{[math]}$ 的位置不同时，点 $\text{[math]}$ 的位置也不同，在这次综合实践探究学习中，两位同学又有如下发现：
一、小曾发现，当点 $\text{[math]}$ 落在折痕 $\text{[math]}$ 上时，设 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，如图2，则有结论： $\text{[math]}$ ；
二、小段发现，当点 $\text{[math]}$ 落在折痕 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 是一个定值．
【解决问题】
1. （1）证明小曾同学结论的正确性： $\text{[math]}$ ；
3. （2）小段同学的发现是否成立？若成立，求出 $\text{[math]}$ 的大小；若不成立，请说明理由．
5. （3）【拓展应用】
  如图3，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

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