【问题初探】如图1，是的中线，交于点，交于点，且，求证：小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路①小明同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，构造……；②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同

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1. (2024·葫芦岛模拟)
1. （1）【问题初探】
  如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
  小明和小亮两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
  ①小明同学的思考过程：如图2，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，构造 $\text{[math]}$ ……；
  ②小亮同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点G ，于是得到 $\text{[math]}$ ……；请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
3. （2）【迁移应用】
  请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．如图4，已知等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕着 $\text{[math]}$ 顺时针旋转120°得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的猜想；
5. （3）【能力提升】
  如图5，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接线段 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

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