如图1，矩形中，，，点E，F分别为，边上任意一点，现将沿直线对折，点A对应点为点P．

1. (2024九上·婺城期中) 如图1，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上任意一点，现将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 对折，点A对应点为点P．
1. （1）若点B与点F重合
  ①如图2，若 $\text{[math]}$ ，当点P落在 $\text{[math]}$ 中垂线上时，求 $\text{[math]}$ 的长；
  ②当点P可以两次落在 $\text{[math]}$ 中垂线上时，求a取值范围；
3. （2）如图3，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的边于点G，是否存在点G，使得以E，G，P为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似．若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．