如图，在中，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到给好落在直线上；过点作垂直直线于点，在直线上再取两点（点在点左侧），连接，且，；

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1. (2024·重庆市模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转一定角度得到 $\text{[math]}$ 给好落在直线 $\text{[math]}$ 上；过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 垂直直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上再取两点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧），连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，诸求出线段 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）如图2， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图3， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 延长线上，且 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的值．

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