综合探究【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B ， C重合），于点G ，交对角线AC于点H ，交CD于点F ．为了探究HC与BE之间的数量关系，在如图2中，作， EM交AB的延长线于点M ．

1. (2024·惠城模拟) 综合探究
【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B ， C重合）， $\text{[math]}$ 于点G ，交对角线AC于点H ，交CD于点F ．为了探究HC与BE之间的数量关系，在如图2中，作 $\text{[math]}$ ， EM交AB的延长线于点M ．
1. （1）如图2，①求证： $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）【类比迁移】如图3，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点G ，交AC于点H ，交CD于点F ．求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）【拓展应用】如图4，在等边三角形ABC中， $\text{[math]}$ ， E是DC的中点， $\text{[math]}$ ，交AE于点G ，交AC于点F ．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．