1. (2024八下·丹江口期中)  

1. （1） 问题探究：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形．我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题．

   如图①，两条长度相等的线段AB和CD相交于O点，∠AOC=60°，试说明线段AC+BD≥AB ．

   分析：考虑通过平移，将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，运用三角形的三边关系来证明.

   如图①，作CE∥AB且CE=AB ， 则四边形ABEC是  ▲  （填四边形ABEC的形状），

   ∴AC=BE；

   ∵CD=AB=CE ， ∠ECD=∠AOC=60°，

   ∴△DCE是  ▲  （填△DCE的形状），

   ∴ED=CE=AB.

   当AC与BD不平行时，E ， B ， D三点不在同一直线上，

   由三角形三边关系可知，BE+BD  ▲  DE（填＞或＝或＜）；

   当AC∥BD时，E ， B ， D三点在同一直线上，此时，BE+BD＝DE ，

   ∴AC+BD≥AB ．

3. （2） 问题解决：如图②，若△ABC中，∠A=90°，点D ， 点E分别在AC ， AB上，BD交CE于点O ， ∠BOC=120°，BD=CE ， BE=12，CD=9，求线段BD的长；
5. （3） 拓展应用：如图③，△ABC中，∠A=45°，D ， E分别在AC ， AB上，BD ， CE交于点O ， 若BD=CE ， ∠BOC=120°，BE= ， CD=5，求BD长．