【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过、旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系。因此他和同学一起对这个问题进行了数学探究。
已知
和
都是等腰直角三角形，且
-
（1）
【初步探究】小鸣将
绕点
A在平面内自由旋转，连接
BD、
CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图1，请探究线段
BD、
CE的数量关系，并说明理由。
-
-
（2）
【深入探究】若
， 在旋转过程中，当点
D、点
E和
BC的中点
O三点共线时，如图2，请探究线段
BD、
DO和
OE的数量关系，并说明理由。
-
-
（3）
【应用探究】如图2，在（2）的条件下，若
，
， 则
（直接写出结果）
-
-
（4）
【拓展探究】如图3，
，
，
， 则
（直接写出结果）
-
