某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点在矩形区域内包含边界，则挑战成功，否则挑战失败已知米，为中

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1. (2024高一下·珠海期中) 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 $\text{[math]}$ 内举行机器人拦截挑战赛，在 $\text{[math]}$ 处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人甲，同时在 $\text{[math]}$ 处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在 $\text{[math]}$ 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点 $\text{[math]}$ 在矩形区域 $\text{[math]}$ 内 $\text{[math]}$ 包含边界 $\text{[math]}$ ，则挑战成功，否则挑战失败 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若两机器人运动方向的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
3. （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的 $\text{[math]}$ 倍．
  $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长，求机器人乙能否挑战成功．
  $\text{[math]}$ 如何设计矩形区域 $\text{[math]}$ 的宽 $\text{[math]}$ 的长度，才能确保无论 $\text{[math]}$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $\text{[math]}$ 使机器人乙挑战成功？

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广东省珠海市六校2023-2024学年高一（下）期中数学试卷