广东省珠海市六校2023-2024学年高一（下）期中数学试卷

更新时间：2024-06-04 浏览次数：9 类型：期中考试

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. (2024高一下·珠海期中) 已知复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高一下·珠海期中) 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高一下·珠海期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·珠海期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是
( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高一下·珠海期中) 已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为单位向量，它们的夹角为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 等于( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高一下·珠海期中) 已知 $\text{[math]}$ 为非零平面向量，则下列说法正确的是( )

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高一下·珠海期中) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高一下·珠海期中) 在等边三角形 $\text{[math]}$ 的三边上各取一点D，E，F，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三角形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. (2024高一下·珠海期中) 已知向量 $\text{[math]}$ ，则( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 与向量 $\text{[math]}$ 同向的单位向量是 $\text{[math]}$

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10. (2024高一下·珠海期中) 已知复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是( )

A . $\text{[math]}$ 一定是实数 B . $\text{[math]}$ 一定是实数 C . $\text{[math]}$ 一定是纯虚数 D . $\text{[math]}$

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11. (2024高一下·珠海期中) 已知点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，则下列说法中正确的有( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2024高一下·珠海期中) 在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为锐角三角形 B . 若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为等腰三角形或直角三角形 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是直角三角形

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. (2024高一下·珠海期中) 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为， $\text{[math]}$ .

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14. (2024高一下·珠海期中) 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2024高一下·上海市期末) 已知平面向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量的坐标为.

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16. (2024高一下·珠海期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (2024高一下·珠海期中) 已知复数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， i为虚数单位），且 $\text{[math]}$ 为纯虚数.
1. （1）求实数a的值：
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数.
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18. (2024高一下·珠海期中) 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求线段AB的中点M的坐标；
2. （2）若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标.
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19. (2024高一下·珠海期中) 如图，斜坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴正方向同向的单位向量，且 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，定义向量 $\text{[math]}$ 在斜坐标系 $\text{[math]}$ 中的坐标为有序数对 $\text{[math]}$ ，记为 $\text{[math]}$ 在斜坐标系 $\text{[math]}$ 中完成下列问题：
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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20. (2024高一下·珠海期中) 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A ， B两点间的距离是多少？

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21. (2024高一下·珠海期中) 在平面直角坐标系中，设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的两个内角．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值．
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22. (2024高一下·珠海期中) 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 $\text{[math]}$ 内举行机器人拦截挑战赛，在 $\text{[math]}$ 处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人甲，同时在 $\text{[math]}$ 处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在 $\text{[math]}$ 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点 $\text{[math]}$ 在矩形区域 $\text{[math]}$ 内 $\text{[math]}$ 包含边界 $\text{[math]}$ ，则挑战成功，否则挑战失败 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若两机器人运动方向的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
2. （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的 $\text{[math]}$ 倍．
  $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长，求机器人乙能否挑战成功．
  $\text{[math]}$ 如何设计矩形区域 $\text{[math]}$ 的宽 $\text{[math]}$ 的长度，才能确保无论 $\text{[math]}$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $\text{[math]}$ 使机器人乙挑战成功？
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