已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量.

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1. (2024高二下·平果期中) 已知双曲线C的中心在原点， $\text{[math]}$ 是它的一个顶点. $\text{[math]}$ 是它的一条渐近线的一个方向向量.
1. （1）求双曲线C的方程；
3. （2）设 $\text{[math]}$ ， M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；
5. （3）若过点 $\text{[math]}$ 任意作一条直线与双曲线C交于A ， B两点（A ， B都不同于点D），求证： $\text{[math]}$ 为定值.

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