五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，

1. (2024高三下·湖南模拟) 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
1. （1）若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为 $\text{[math]}$ 步，求 $\text{[math]}$ 的分布列和期望；
3. （2）记 $\text{[math]}$ 为设定机器人一共行走 $\text{[math]}$ 步时游戏胜利的概率，求 $\text{[math]}$ ，并判断当 $\text{[math]}$ 为何值时，游戏胜利的概率最大；
5. （3）该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将 $\text{[math]}$ 个0和 $\text{[math]}$ 个1排成一排，若对任意的 $\text{[math]}$ ，在前 $\text{[math]}$ 个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有 $\text{[math]}$ 种，其中， $\text{[math]}$ 的结果被称为卡特兰数.若记 $\text{[math]}$ 为设定机器人行走 $\text{[math]}$ 步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$

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