湖南省2024届高三“一起考”大联考下学期模拟考试数学试题（...

更新时间：2024-07-18 浏览次数：33 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三下·湖南模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·湖南模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2024高三下·湖南模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·湖南模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的一条切线，切点为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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5. (2024高三下·湖南模拟) 赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴均相切， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的曲线可近似看成函数 $\text{[math]}$ 的图象， $\text{[math]}$ 有导函数 $\text{[math]}$ ，为了让雨水最快排出， $\text{[math]}$ 需要满足螺旋线方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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6. (2024高二下·武汉月考) 一种动物的后代数 $\text{[math]}$ （单位：只）在一定范围内与温度 $\text{[math]}$ （单位：℃）有关，测得一组数据 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）可用模型 $\text{[math]}$ 拟合.利用变换 $\text{[math]}$ 得到的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·湖南模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·湖南模拟) 已知八面体 $\text{[math]}$ 由两个正四棱锥 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 组成.若该八面体的外接球半径为3，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则该八面体的体积为（）

A . 28 B . 32 C . 36 D . 40

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三上·长沙开学考) 若随机变量 $\text{[math]}$ 服从标准正态分布， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高三下·湖南模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的单调区间有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·湖南模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称，且 $\text{[math]}$ 为奇函数，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，

12. (2024高三下·湖南模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的上顶点、下顶点和两个焦点构成正方形，则该椭圆的离心率为.

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13. (2024高三下·湖南模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为.

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14. (2024高三下·湖南模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间插入 $\text{[math]}$ 个1，构成数列 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的前20项的和为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. (2024高三下·湖南模拟) 已知单调递增的等比数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的等差中项，
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式：
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求使 $\text{[math]}$ 成立的正整数n的最小值．
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16. (2024高三下·湖南模拟) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.
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17. (2024高三下·湖南模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的渐近线.
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 的左支上，满足 $\text{[math]}$ ，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点；
3. （3）在（2）的条件下，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值.
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18. (2024高三下·湖南模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有两条不同的公切线（与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均相切的直线） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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19. (2024高三下·湖南模拟) 五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
1. （1）若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为 $\text{[math]}$ 步，求 $\text{[math]}$ 的分布列和期望；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 为设定机器人一共行走 $\text{[math]}$ 步时游戏胜利的概率，求 $\text{[math]}$ ，并判断当 $\text{[math]}$ 为何值时，游戏胜利的概率最大；
3. （3）该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将 $\text{[math]}$ 个0和 $\text{[math]}$ 个1排成一排，若对任意的 $\text{[math]}$ ，在前 $\text{[math]}$ 个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有 $\text{[math]}$ 种，其中， $\text{[math]}$ 的结果被称为卡特兰数.若记 $\text{[math]}$ 为设定机器人行走 $\text{[math]}$ 步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$
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