如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接.图1 图2

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1. (2024·黄石模拟) 如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，使点 $\text{[math]}$ 落在射线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ .
图1 图2
1. （1）【问题引入】
  证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）【探索发现】
  延长 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，请将图1补充完整，猜想此时线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
5. （3）【拓展应用】如图2，若 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，请求线段 $\text{[math]}$ 的长.

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