如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点是的中点，．

1. (2024·诸暨模拟) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是正三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的球心；
3. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值最大时 $\text{[math]}$ 的值．