如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标为，且满足，点在线段上（不与点，重合），连接，将沿折叠得到，延长交于点，连接．

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1. (2024八下·黄石期中) 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）当点 $\text{[math]}$ 位于不同位置时， $\text{[math]}$ 的周长是否变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出其周长．
5. （3）如果 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上 $\text{[math]}$ 点左侧一点， $\text{[math]}$ 为坐标平面内一点，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
7. （4）设 $\text{[math]}$ 点纵坐标为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离最小时，求 $\text{[math]}$ 的值．

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湖北省黄石市2023-2024学年八年级下学期数学期中试题