已知在中，，点D为边上一动点，以为边，在的右侧作等边三角形．

1. (2024·玉山模拟) 已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 边上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边，在 $\text{[math]}$ 的右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图（1），当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是形．
3. （2）如图（2），过点E作 $\text{[math]}$ 于点F ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有怎样的关系？F为 $\text{[math]}$ 的中点吗？说明理由．可得出结论，无论运动到何处，点E在 $\text{[math]}$ 的何处？
5. （3）如图（3），若 $\text{[math]}$ ，利用（2）中结论．
  ①当D为 $\text{[math]}$ 的中点时，过点E作 $\text{[math]}$ 于点G ，求 $\text{[math]}$ 的长；
  ②点D从点B运动到点C ，则点E所经过的路径长为多少？