如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于，于，连接．

1. (2024·长沙模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上一个动点，过点作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；
3. （2）在 $\text{[math]}$ 点的运动过程中，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
5. （3）若四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，求 $\text{[math]}$ ．