1. (2024·盐城) 如图1，E、F、G、H分别是▱ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为▱ABCD的“中顶点四边形”．

1. （1） 求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
3. （2） ①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当▱ABCD满足 ▲ 时，中顶点四边形AMCN是菱形；

   ②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）