如图1，在中，为AC边上一点，， O为中点．

1. (2024·丰南模拟) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为AC边上一点， $\text{[math]}$ ， O为 $\text{[math]}$ 中点．
1. （1）点A到 $\text{[math]}$ 的距离为_________．
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ．
5. （3）如图2，将与 $\text{[math]}$ 全等的 $\text{[math]}$ 如图放置， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 点与 $\text{[math]}$ 点重合，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向向右平移，平移速度为每秒1个单位长度，如图3．当点E到达点 $\text{[math]}$ 后立即绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，旋转的速度为每秒 $\text{[math]}$ ，如图4，当 $\text{[math]}$ 点落在直线 $\text{[math]}$ 上时停止旋转．
  ①从平移开始到旋转结束，求点D经过路径的长度．
  ②求点M落在 $\text{[math]}$ 内部（包含边界）的时长．
  ③在旋转过程中，设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边分别交于点P、Q，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．（参考数据： $\text{[math]}$ ）