生物小组的同学们在冬天利用杂草、落叶及泥土等材料制作花肥时，发现天气太冷肥料不易发酵，于是他们想制作一个电加热垫给肥料加热。

1. (2024·天津市) 生物小组的同学们在冬天利用杂草、落叶及泥土等材料制作花肥时，发现天气太冷肥料不易发酵，于是他们想制作一个电加热垫给肥料加热。
1. （1）【初步设计】选取一根粗细均匀的电热丝，将其接在电压恒为 $\text{[math]}$ 的电源上（如图所示），加热功率为 $\text{[math]}$ ，该电热丝的电阻 $\text{[math]}$ 。（不考虑温度对电阻的影响）
3. （2）【改进设计】为获得不同的加热功率，从电热丝的中点处引出一条导线，将电热丝以不同方式连接在电压为 $\text{[math]}$ 的电源上，可以得到另外两个加热功率 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 。请你在图甲、乙中将各元件连接成符合改进要求的电路，并推导出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之比。
  说明：电热丝上只有 $\text{[math]}$ 三处能接线，电热丝的额定电流满足设计需求。
5. （3）【优化设计】为方便操控，再增加一个单刀双掷开关 $\text{[math]}$ ，通过开关 $\text{[math]}$ 的通断和 $\text{[math]}$ 在1、2触点间的切换，实现加热垫 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三档功率的变换。请你在图中将各元件连接成符合优化要求的电路。
  注意：无论怎样拨动开关，不能出现电源短路。